Cosinus et sinus d'un nombre réel

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J}\right)\). 

Définitions

Soit \(\mathcal{C}\) le cercle trigonométrique, \(x\) un nombre réel.
On note \(\text{M}\) le point du cercle trigonométrique associé au réel \(x\).

• On appelle cosinus du réel \(x\), et on note \(\cos(x)\), l'abscisse du point \(\text{M}\) dans le repère\(\left(\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J}\right)\).
• On appelle sinus du réel \(x\), et on note \(\sin(x)\), l'ordonnée du point \(\text{M}\) dans le repère\(\left(\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J}\right)\).

Remarque

Ces définitions permettent de définir le cosinus et le sinus d'un réel quelconque en dehors du cadre d'un triangle rectangle où on est limité seulement à des angles aigus dont les mesures sont strictement comprises entre \(0\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) radians.
On peut vérifier que ces définitions coïncident bien avec celles données dans le cadre d'un triangle rectangle.
En effet, dans le plan muni du repère orthonormé \(\left(\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J}\right)\), on considère le point \(\text{M}\) du cercle trigonométrique associé à un réel \(x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\). 
On note \(\text{H}\) et \(\text{K}\) les pieds respectifs des perpendiculaires à l’axe des abscisses et à l’axe des ordonnées passant par le point \(\text{M}\).

Dans le triangle \(\text{HOM}\) rectangle en \(\text{H}\), on a :

• \(\cos\left(\widehat{\text{HOM}}\right)=\dfrac{\text{OH}}{\text{OM}}=\text{OH}\) car \(\text{OM}=1\), d'où \(\cos(x)=\text{OH}\).
   \(\cos(x)\) est bien l’abscisse du point \(\text{M}\) dans le repère \(\left(\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J}\right)\).
  

• \(\sin\left(\widehat{\text{HOM}}\right)=\dfrac{\text{HM}}{\text{OM}}=\text{HM}\) car \(\text{OM}=1\), d'où \(\sin(x)=\text{HM}=\text{OK}\).
  \(\sin(x)\) est bien l’ordonnée du point \(\mathrm{M}\) dans le repère \(\left(\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J}\right)\).